Let
#I=int1/(1+tanx)dx#
#I=intcosx/(cos+sinx)dx#
#cosx=l(cosx+sinx)+m(-sinx+cosx)+n#
#cosx=(l+m)cosx+(l-m)sinx+n#
Equating the coefficients of cosx sinx and constants
#l+m=1, l-m=0, n=0#
#l=1/2, n=1/2#
#cosx=1/2(cosx+sinx)+1/2(-sinx+cosx)+0#
#I=intcosx/(cos+sinx)dx#
#I=1/2int(cosx+sinx)/(cosx+sinx)dx+1/2int(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx#
#I=1/2(I_1+I_2)#
where,
#I_1=int(cosx+sinx)/(cosx+sinx)dx=int1dx=x#
#I_1=x#
#I_2=int(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx#
let
#t=cosx+sinx#
#dt/dx=-sinx+cosx#
#dt=(-sinx+cosx)dx#
#int(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx=int((-sinx+cosx)dx)/(cosx+sinx)=intdt/t=lnt#
#I_2=ln(cosx+sinx)#
#I=1/2(I_1+I_2)#
#intcosx/(cos+sinx)dx=1/2(x+ln(cosx+sinx))+c#