#int x/(1+x)(1+x^2)dx# ?

Question

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Answer 1 · 2018-05-21T13:53:21

#intx/(1+x)(1+x^2)dx=x^3/3-x^2/2+2x-2ln(x+1)+C#, #C in RR#

#intx/(1+x)(1+x^2)dx=intx/(1+x)dx+intx^3/(1+x)dx#
let
#I_1=intx/(1+x)dx=int(1+x-1)/(1+x)dx=int(1-1/(1+x))dx#
#=int1dx-int1/(1+x)dx=x-ln(1+x)#

#I_2=intx^3/(1+x)dx=int(x^3+1-1)/(1+x)dx#

#=int(x^3+1)/(x+1)dx-int1/(1+x)dx#

#=int(x^2-x+1)dx-int1/(1+x)dx#

#=x^3/3-x^2/2+x-ln(x+1)#

Now,

#intx/(1+x)(1+x^2)dx=I_1+I_2#

#I_1=x-ln(x+1)#

#I_2=x^3/3-x^2/2+x-ln(x+1)#

Thus,

#intx/(1+x)(1+x^2)dx=x-ln(x+1)+x^3/3-x^2/2+x-ln(x+1)#

Rearranging

#intx/(1+x)(1+x^2)dx=x^3/3-x^2/2+2x-2ln(x+1)+C#, #C in RR#