#intx/(1+x)(1+x^2)dx=intx/(1+x)dx+intx^3/(1+x)dx#
let
#I_1=intx/(1+x)dx=int(1+x-1)/(1+x)dx=int(1-1/(1+x))dx#
#=int1dx-int1/(1+x)dx=x-ln(1+x)#
#I_2=intx^3/(1+x)dx=int(x^3+1-1)/(1+x)dx#
#=int(x^3+1)/(x+1)dx-int1/(1+x)dx#
#=int(x^2-x+1)dx-int1/(1+x)dx#
#=x^3/3-x^2/2+x-ln(x+1)#
Now,
#intx/(1+x)(1+x^2)dx=I_1+I_2#
#I_1=x-ln(x+1)#
#I_2=x^3/3-x^2/2+x-ln(x+1)#
Thus,
#intx/(1+x)(1+x^2)dx=x-ln(x+1)+x^3/3-x^2/2+x-ln(x+1)#
Rearranging
#intx/(1+x)(1+x^2)dx=x^3/3-x^2/2+2x-2ln(x+1)+C#, #C in RR#