We use integration by parts
#intu'v=uv-intuv'#
#v=cos2x# #=>#, #v'=-2sin2x#
#u'=e^(-x)#, #=>#, #u=-e^(-x)#
#inte^(-x)*cos2xdx=-e^(-x)*cos2x-2inte^(-x)sin2xdx#
We apply once more the integration by parts
#v=sin2x#, #=>#,#v'=2cos2x#
#u'=e^(-x)#,#=>##u=-e^(-x)#
so, #2inte^(-x)sin2xdx=-2e^(-x)sin2x+4inte^(-x)cos2xdx#
So,
#inte^(-x)*cos2xdx=-e^(-x)*cos2x-(-2e^(-x)sin2x+4inte^(-x)cos2xdx)#
#inte^(-x)*cos2xdx=#
#-e^(-x)*cos2x+2e^(-x)sin2x-4inte^(-x)cos2xdx#
#5inte^(-x)*cos2xdx=-e^(-x)*cos2x+2e^(-x)sin2x#
#inte^(-x)*cos2xdx=(e^(-x)(2sin2x-cos2x))/5+C#