How do you integrate ∫ sin^4 x dx??

Question

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Answer 1 · 2018-05-04T09:34:19

#I=1/32[12x-8sin2x+sin4x]+c#

We know that,

#(1)sin^2theta=(1-cos2theta)/2#

#(2)cos^2 2theta=(1+cos4theta)/2#

#(3)intcosAxdx=1/AsinAx+c#

Here,

#I=∫ sin^4 x dx#

#=int(sin^2x)^2dx..toApply(1)#

#=int((1-cos2x)/2)^2dx#

#=1/4int(1-2cos2x+cos^2 2x)...toApply(2)#

#=1/4int(1-2cos2x+(1+cos4x)/2)dx#

#=1/8int(2-4cos2x+1+cos4x)dx#

#=1/8int(3-4cos2x+cos4x)dx...toApply(3)#

#=1/8[3x-(4sin2x)/2+(sin4x)/4]+c#

#=1/32[12x-8sin2x+sin4x]+c#

Answer 2 · 2018-05-04T09:39:49

The answer is #=1/32sin(4x)-1/4sin(2x)+3/8x+C#

Apply Euler's identity

#sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)#

#cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2#

#i^2=-1#

#sin^4(x)=((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^4#

#=1/16(e^(ix)-e^(-ix))^4#

#=1/16((e^(4ix)+e^(-4ix))-4(e^(2ix)+e^(-2ix))+6)#

#=1/8((e^(4ix)+e^(-4ix))/2-4(e^(2ix)+e^(-2ix))/2+6/2)#

#=1/8(cos4x-4cos2x+3)#

The integral is

#intsin^4xdx=1/8int(cos4x-4cos2x+3)dx#

#=1/32sin(4x)-1/4sin(2x)+3/8x+C#