There are 2 ways for the simplification
#cos(pi/6)=sqrt3/2#
#sin(pi/6)=1/2#
#cos(2pi/3)=-1/2#
#sin(2pi/3)=sqrt3/2#
#i^2=-1#
#(3(cos(pi/6)+isin(pi/6)))/(4(cos(2pi/3)+isin(2pi/3)))#
#=3/4(sqrt3/2+i*1/2)/(-1/2+isqrt3/2)#
#=3/4((sqrt3/2+i*1/2)(-1/2-isqrt3/2))/((-1/2+isqrt3/2)(-1/2-isqrt3/2))#
#=3/4(-sqrt3/4-i3/4-i/4+sqrt3/4)/(1/4+3/4)#
#=3/4(-i)#
We can also use #costheta+isintheta=e^(itheta)#
#cos(pi/6)+isin(pi/6)=e^(ipi/6)#
#cos(2pi/3)+isin(2pi/3)=e^(2ipi/3)#
#:.(3(cos(pi/6)+isin(pi/6)))/(4(cos(2pi/3)+isin(2pi/3)))=3/4e^(ipi/6)/e^(2ipi/3)#
#=3/4(e^(ipi(1/6-2/3)))#
#=3/4e^(-ipi/2)#
#=3/4(cos(-pi/2)+isin(-pi/2))#
#=3/4*(0-i)#
#=-(3i)/4#