Question

What is `f(x) = int (x^2-2x)(e^x-sinx) dx` if `f(1 ) = 2`?

Answer 1

`f(x)=x^2(e^x+cos x)-2x(2e^x+sinx+cosx)+4e^x+2sinx-2cosx+2-e+3cos1`

Explanation:

Using the rule
`int udv=uv-int vdu`

`u=x^2-2x` => `du=(2x-2)dx`
`dv=(e^x-sinx)dx` => `v=e^x+cosx`

`f(x)=(x^2-2x)(e^x+cosx)-int (2x-2)(e^x+cosx)dx`
Once again using the rule above mentioned:

`u=2x-2` => `du=2dx`
`dv=(e^x+cosx)dx` => `v=e^x+sinx`

`->f(x)=(x^2-2x)(e^x+cosx)-[(2x-2)(e^x+sinx)-2int (e^x+sinx)dx`
`f(x)=(x^2-2x)(e^x+cosx)+(-2x+2)(e^x+sinx)+2(e^x-cosx)+const.`
`f(x)=x^2(e^x+cosx)-2x(2e^x+sinx+cosx)+4e^x+2sinx-2cosx+const.`

Finding `const.`

`f(1)=2`
`1(e+cos1)-2(cancel(2e)+cancel(sin1)+cos1)+cancel(4e)+cancel(2sin1)-2cos1+const.=2`
`e-3cos1+const.=2` => `const.=2-e+3cos1~=0.903`

So
`f(x)=x^2(e^x+cos x)-2x(2e^x+sinx+cosx)+4e^x+2sinx-2cosx+2-e+3cos1`