Question

How do you evaluate `e^( ( 5 pi)/4 i) - e^( ( 3 pi)/8 i)` using trigonometric functions?

Answer 1

`2cos((13pi)/16){cos((7pi)/16)+isin((7pi)/16)}`

Explanation:

`e^((5pi)/4i) - e^((3pi)/8i)`

Euler formula : `e^(itheta) = cos(theta) + isin(theta)`

`e^((5pi)/4i) = cos((5pi)/4) + isin((5pi)/4)`
`e^((3pi)/8i) = cos((3pi)/8) + isin((3pi)/8)`

`e^((5pi)/4i)-e^((3pi)/8i)`
`= cos((5pi)/4) + isin((5pi)/4) - (cos((3pi)/8) + isin((3pi)/8))`
`=cos((5pi)/4)-cos((3pi)/8)+i(sin((5pi)/4)-sin((3pi)/8))`

`color(blue)( cos(C) -cos(D) = 2cos((C+D)/2)cos((C-D)/2)`

`color(blue)(sin(C) - sin(D) = 2cos((C+D)/2)sin((C-D)/2)`

`cos((5pi)/4)-cos((3pi)/8) = 2cos(((5pi)/4+(3pi)/8)/2)cos(((5pi)/4-(3pi)/8)/2)`
`cos((5pi)/4)-cos((3pi)/8) = 2cos(1/2((10pi)/8+(3pi)/8))cos((1/2((10pi)/8-(3pi)/8))`
`cos((5pi)/4)-cos((3pi)/8) = 2cos(1/2((13pi)/8)cos((1/2((7pi)/8))`
`color(green)(cos((5pi)/4)-cos((3pi)/8) = 2cos((13pi)/16)cos((7pi)/16)`

`sin((5pi)/4)-sin((3pi)/8) = 2cos(1/2((5pi)/4+(3pi)/8)sin(1/2((5pi)/4-(3pi)/8))`
`sin((5pi)/4)-sin((3pi)/8) = 2cos(1/2((10pi)/8+(3pi)/8)sin(1/2((10pi)/8-(3pi)/8))`
`sin((5pi)/4)-sin((3pi)/8) = 2cos(1/2((13pi)/8)sin(1/2((7pi)/8))`
`color(green)(sin((5pi)/4)-sin((3pi)/8) = 2cos((13pi)/16)sin((7pi)/16)`

`e^((5pi)/4i)-e^((3pi)/8i)`
`=cos((5pi)/4)-cos((3pi)/8)+i(sin((5pi)/4)-sin((3pi)/8))`
`=2cos((13pi)/16)cos((7pi)/16) + i(2cos((13pi)/16)sin((7pi)/16))`
`=2cos((13pi)/16){cos((7pi)/16)+isin((7pi)/16)}`